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Logische Äquivalenz
Vorläufig einfach definiert, heißen zwei Aussagen logisch äquivalent, wenn ihr Bikonditional logisch ableitbar ist. Diese Definition wird jetzt vertieft und präzisiert.
Es seien folgende Voraussetzungen erfüllt: 1. Sei L eine bestimmte Logik,? zum Beispiel die klassische Aussagenlogik;? 2. Sei ⇒L die Ableitbarkeitsrelation? dieser Logik; 3. X sei eine Menge von n ≥ 0 Zeichenreihen, die gemäß der Syntax? von L Sätze sind; X sei also möglicherweise leer; und α sei gemäß der Syntax von L irgendein Satz; 4. Der Ausdruck "X ⇒L α" ist zu lesen als "aus X ist α L-ableitbar" (d.h. im Logiksystem L lässt sich aus der Satzmenge X der Satz α ableiten); 5. Es seien φ und ψ gemäß der Syntax von L zwei Sätze beliebiger Komplexität derart, dass Folgendes gelte: ∅ ⇒L φ↔ψ. Das heißt, dass das Bikonditional φ↔ψ aus der leeren Prämissenmenge ("ex nihilo") L-ableitbar ist.
Definition der logischen Äquivalenz: Zwei Sätze φ und ψ sind nach einer Logik L äquivalent (kurz: L-äquivalent) genau dann, wenn ∅ ⇒L φ↔ψ.
Beispiel: Der Satz "Du liebst Deinen Hund oder er liebt Dich" ist klassisch-logisch äquivalent mit dem Satz "Wenn Du Deinen Hund nicht liebst, dann liebt er Dich" und umgekehrt.
L-äquivalente Sätze dürfen in einem Kontext gegeneinander ausgetauscht werden, wenn L die Logik dieses Kontextes ist.