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Fuzzymenge
Im Gegensatz zu einer klassischen Menge hat eine Fuzzymenge (von engl. "fuzzy" = unscharf, vage) keine scharfen Grenzen. Es gilt nicht die Forderung, dass ein Gegenstand entweder als ein Element (Mitglied, Vollmitglied) in der Menge steht oder als Nichtmitglied völlig draußen steht. Ein Gegenstand kann auch an der Grenze zwischen Vollmitglied und Nichtmitglied stehen. Beispiele sind Mengen von Objekten, die wir etwa wie folgt nennen: Bäume, Büsche, kranke Menschen, reife Früchte, große Zahlen usw. Man frage sich zum Beispiel, wie die Grenze zwischen Baum und Busch, kranken und nicht-kranken Menschen oder reifen und unreifen Früchten verläuft. Während beispielsweise ein 20-jähriger Mensch eindeutig jung ist und ein 80-jähriger Mensch eindeutig nicht-jung ist, ist es nicht so klar, ob wir einen 40-Jährigen noch jung nennen sollen, obwohl es genauso klar ist, dass wir ihn nicht nicht-jung nennen wollen. Er steht dazwischen. Das heißt, die Menge der jungen Menschen hat keine scharen Grenzen. Sie ist, wie die zuvor genannten, eine unscharfe Menge, eine Fuzzymenge. Die Fuzzymengenlehre? wurde im Jahre 1965 von dem iranisch-amerikanischen Informatiker Lotfi A. Zadeh ins Leben gerufen (Zadeh 1965).
Eine Fuzzymenge ist eine Ansammlung von beliebigen Gegenständen, die im unterschiedlichen Grade zwischen 0 und 1 ihre Mitglieder sein können. Wir können deshalb den Begriff wie folgt definieren:
Definition 1. Gegeben sei eine beliebige Ansammlung Ω von Objekten, die wir die Basis- oder Grundmenge nennen wollen. A ist eine Fuzzyteilmenge dieser Grundmenge genau dann, wenn gilt:
1. Es gibt eine Funktion? μA derart, dass sie die Grundmenge Ω in das Einheitsintervall [0, 1] abbildet;
2. A ist eine Menge von Paaren (x, μA(x)), so dass x aus Ω stammt und μA(x) eine Zahl aus dem Intervall [0, 1] ist. Diese Zahl wird der Grad der Mitgliedschaft von x in A genannt.
Definition 2. A ist eine Fuzzymenge genau dann, wenn es eine Grundmenge Ω gibt, so dass A eine Fuzzyteilmenge davon ist.
Gegeben sei beispielsweise eine vierköpfige Familie, die aus Albert, Berta, Carla und Dirk besteht. Sie ist die Menge {Albert, Berta, Carla, Dirk}, die wir durch {a, b, c, d} abkürzen wollen. Es gelte:
- a ist 20 Jahre alt
- b ist 30 Jahre alt
- c ist 35 Jahre alt
- d ist 60 Jahre alt.
Wir haben eine Zuordnungsschrift μjung, die einer solchen Altersstufe eine Zahl aus dem Einheitsintervall [0, 1] zuordnet und die wir den Grad der Jugend der betreffenden Person nennen. Danach erhalten wir folgende Werte:
- μjung(a) = 1
- μjung(b) = 0.7
- μjung(c) = 0.3
- μjung(d) = 0.
Das bedeutet der Reihe nach:
- a ist jung im Grade 1
- b ist jung im Grade 0.7
- c ist jung im Grade 0.3
- d ist jung im Grade 0.
Dann haben wir in der Grundmenge Ω = {a, b, c, d} die folgende Fuzzymenge JUNG:
- JUNG = {(a, 1), (b, 0.7), (c, 0.3), (d, 0)}.
Literaturverzeichnis
Zadeh LA. Fuzzy sets. Information and Control 1965; 8: 338-353.