Ähnlichkeit

Über den Begriff der Ähnlichkeit und über seine Beziehung zu dem Begriff der Analogie^? ist in der Geschichte der Philosophie und Wissenschaften viel nachgedacht worden. Traditionell versteht man unter Ähnlichkeit zwischen zwei Dingen (Objekten, Systemen, Ereignissen, etc.) ihre Übereinstimmung in manchen, wenn auch nicht in allen, ihrer Merkmale. Diese Ansicht ist inadäquat und viel zu ungenau, als dass sie sinnvoll und brauchbar sein könnte. Der bisher beste Ähnlichkeitsbegriff war derjenige, den der im Jahre 1996 verstorbene mathematische Psychologe Amos Tversky^? formuliert hatte (Tversky 1977). Aber mit Hilfe der fuzzylogischen Instrumentarien, die ihm offenbar unbekannt waren, lässt sich ein eleganter, einfacherer und viel besserer Ähnlichkeitsbegriff konstruieren, der aussagekräftiger und handhabbarer ist. Außerdem macht er die gesamte Fuzzylogik dem Begriff unmittelbar zugänglich, so dass im Gefolge dieser Neuerung eine fuzzylogische Ähnlichkeitstheorie den Gegenstand eines fruchtbaren Forschungsprogramms bilden kann.

Um einen fuzzylogischen Ähnlichkeitsbegriff, oder einen Begriff der Fuzzy-Ähnlichkeit, zu formulieren, vergegenwärtigen wir uns zunächst Folgendes. Im Gegensatz zu der eingangs genannten, traditionellen Ansicht müssen zwei Dinge, die hinsichtlich eines bestimmten Merkmals x einander ähnlich sind, in Bezug auf dieses Merkmal nicht unbedingt übereinstimmen in dem Sinne, dass jedes von ihnen das Merkmal x in genau der gleichen Weise besitzt. Beispielsweise muss eine rote Rose, die einer anderen roten Rose ähnlich ist, weil sie beide das Merkmal rot besitzen, nicht in der gleichen Weise (Intensität, Leuchtkraft, etc.) rot sein wie die andere. Ihre Röte kann schwächer oder stärker sein, mehr oder weniger leuchten oder einen anderen Farbton haben. Das heißt, dass zwei Gegenstände, die hinsichtlich eines bestimmten Merkmals einander ähnlich sind, hinsichtlich dieses Merkmals nicht unbedingt übereinstimmen müssen. Es reicht, wenn sie in Bezug auf das Merkmal einander nur im gewissen Grade ähnlich sind. Denn es geht ja auch nur um die Ähnlichkeit. Aber was ist dieses lokale Ähnlichsein in Bezug auf ein Merkmal, dessen Verallgemeinerung das globale Ähnlichsein zweier Dinge in ihrer Gesamtheit konstituiert? Diese Frage wird durch den folgenden Begriff der Fuzzy-Ähnlichkeit erfasst, der in allen Bereichen nutzbringend anwendbar ist, in denen überhaupt von Ähnlichkeit die Rede ist.

Die Ähnlichkeit, die hier diskutiert wird, ist eine zweistellige Relation.^? Die Objekte, zwischen denen sie besteht oder nicht besteht, werden als Fuzzymengen über einem Merkmalsraum {x₁, x₂, ..., x_n} von n ≥ 1 Merkmalen (= Eigeschaften, Attributen, Features, Traits, Charakteristika, Kriterien) rekonstruiert. Gegeben seien zum Beispiel zwei Autos, die hinsichtlich mehrerer, d.h. n ≥ 1, Merkmale x₁, x₂, ..., x_n wie etwa Umweltfreundlichkeit, Eignung als Familienvehikel, Benzinverbrauch, Kaufpreis u.ä. miteinander verglichen werden sollen, um das Ausmaß der Ähnlichkeit zwischen ihnen festzustellen. Dazu werden sie in folgender Form als zwei Fuzzymengen A und B dargestellt:

• A = {(x₁, a₁), (x₂, a₂), ..., (x_n, a_n)}
  
• B = {(x₁, b₁), (x₂, b₂), ..., (x_n, b_n)}.
  

Ein Wert a_i in einem Paar der Form (x_i, a_i) mit 1 ≤ i ≤ n in der ersten Fuzzymenge A drückt den Grad der Mitgliedschaft, also des Vorliegens, des betreffenden Merkmals x_i in A aus. In gleicher Weise ist ein b_i der Grad der Mitgliedschaft des Merkmals x_i in der Fuzzymenge B. Konkret besagt zum Beispiel ein Paar wie (x₃, 0.4) in B, dass das Merkmal x₃ im Grade 0.4 in B vertreten ist, etwa "umweltfreundlich im Grade 0.4".

Eine Fuzzymenge mit n ≥ 1 Mitgliedern ist ein Punkt in einem n-dimensionalen Einheitshyperwürfel [0, 1]ⁿ (siehe Zadeh 1971, S. 486; Kosko 1992; Sadegh-Zadeh 2000). Diese Tatsache kann dazu genutzt werden, Fuzzymengen als Punkte eines n-dimensionalen Einheitshyperwürfels [0, 1]ⁿ darzustellen und die räumliche Entfernung zwischen je zwei Punkten als ein Maß für die Ähnlichkeit der betreffenden Objekte zu betrachten, die durch diese Fuzzymengen repräsentiert werden. Je ähnlicher zwei Fuzzymengen einander sind, desto näher benachbart sind sie als Punkte in dem Einheitshyperwürfel. Um diese Idee der Ähnlichkeit als Grad der Nachbarschaft im Hyperwürfel zu realisieren, nennen wir eine Fuzzymenge wie A oder B mit n Mitgliedern, die oben vorgestellt wurden, eine n-dimensionale Fuzzymenge, weil jedes Mitglied x_i der Menge der i-ten Dimension eines n-dimensionalen Einheitshyperwürfels [0, 1]ⁿ zugeordnet werden kann. Dadurch lässt sich die betreffende Fuzzymenge durch den n-dimensionalen Vektor ihrer Mitgliedschaftsgrade repräsentieren. Beispielsweise lassen sich die oben genannten Fuzzymengen A und B als folgende zwei Vektoren ihrer Mitgliedschaftsgrade auffassen:

• A = (a₁, a₂, ..., a_n)
  
• B = (b₁, b₂, ..., b_n),
  

nachdem wir ihre Mitglieder x₁, x₂, ..., x_n als die Dimensionen des Einheitshyperwürfels [0, 1]ⁿ dargestellt haben. So ist dann die Fuzzymenge A ein Punkt in [0, 1]ⁿ und die Fuzzymenge B ist ein anderer Punkt in [0, 1]ⁿ. Um die Ähnlichkeit zwischen A und B festzustellen, brauchen wir daher nur in dem Raum [0, 1]ⁿ die räumliche Entfernung zwischen ihnen zu bestimmen. Das soll jetzt geschehen. Dafür benötigen wir die folgenden zwei Begriffe, wobei ein Ausdruck der Form μ_A(x_i) bedeutet: "der Grad der Mitgliedschaft von x_i in der Fuzzymenge A":

• Die Größe einer Fuzzymenge A, symbolisiert durch gr(A)
  
• Die Vereinigung^? der Fuzzymengen A und B, symbolisiert durch A ∪ B.
  

Definition 1. Die Mächtigkeit oder einfach die Größe einer Fuzzymenge A = {(x₁, a₁), (x₂, a₂), ..., (x_n, a_n)} ist die arithmetische Summe ihrer Mitgliedschaftsgrade:

• gr(A) = μ_A(x₁) + ... + μ_A(x_n)
  
• = ∑μ_A(x_i) für 1 ≤ i ≤ n.
  

Zum Beispiel haben wir bei den Fuzzymengen

• X = (0.4, 0.8)
  
• Y = (0.6, 0.7, 0.5, 0, 1)
  

• gr(X) = 0.4 + 0.8 = 1.2
  
• gr(Y) = 0.6 + 0.7 + 0.5 + 0 + 1 = 2.8.
  

Definition 2. Die Vereinigung A ∪ B von zwei Fuzzymengen A und B ist eine Fuzzymenge C = A ∪ B mit der folgenden μ_A∪B-Funktion:

• μ_A∪B(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)).
  

Das heißt: A ∪ B = {(x, μ_A∪B(x))| μ_A∪B(x) = max(μ_A(x), μ_B(x))}. Dabei bedeutet ein Ausdruck der Form max(a, b)^? "die Größere der beiden Zahlen a und b" wie zum Beispiel max(5, 3) = 5. Wir haben beispielsweise bei:

• A = {(x, 1), (y, 0.3), (z, 0.1)}
  
• B = {(x, 0.8), (y, 0.6), (z, 0.4)}
  
• A ∪ B = {(x, 1), (y, 0.6), (z, 0.4)}.
  

Die Ähnlichkeit zwischen zwei Fuzzymengen werden wir als den additiven Kehrwert ihres Unterschieds auffassen. Deshalb brauchen wir den Unterschied zwischen zwei Fuzzymengen A und B, den wir als ihre Differenz^? bezeichnen und wie folgt schreiben: diff(A, B). Diese ist wie folgt definiert (Lin 1997; Sadegh-Zadeh 2000):

Definition 3. Seien A = {(x₁, a₁), (x₂, a₂), ..., (x_n, a_n)} und B = {(x₁, b₁), (x₂, b₂), ..., (x_n, b_n)} zwei Fuzzymengen, dann ist:

• diff(A, B) = ∑|a_i − b_i| / gr(A ∪ B).
  

Dabei bedeutet ein Ausdruck der Form |x| den Absolutbetrag^? der Zahl x wie zum Beispiel |5| = 5 und ebenso |−5| = 5. Beispielsweise unterscheiden sich die Mengen:

• A = {(x, 1), (y, 0.3), (z, 0.1)}
  
• B = {(x, 0.8), (y, 0.6), (z, 0.4)}
  

im folgenden Grade:

• diff(A, B)= (1 − 0.8) + (0.3 − 0.6) + (0.1 − 0.4) / (1 + 0.6 + 0.4)
  
• = 0.8 / 2
  
• = 0.4.
  

Unter dem Grad der Gleichheit zweier Fuzzymengen X und Y, symbolisiert durch gleich(X, Y), wird das Additiv-Inverse ihrer Differenz verstanden. Das heißt, dass zwei Fuzzymengen einander um so mehr gleichen, je weniger sie differieren. Und der Grad ihrer Ähnlichkeit, symbolisiert durch ähn(X, Y), wird mit ihrem Gleichheitsgrad identifiziert. Somit haben wir:

Definition 4.
1. gleich(A, B) = 1 − diff(A, B)
2. ähn(A, B) = gleich(A, B).

Daraus folgt als Korollar:

Theorem 1.
1. ähn(A, B) = 1 − diff(A, B)
2. diff(A, B) = 1 − ähn(A, B).

In unserem letzten Beispiel etwa sind die Mengen A und B im Grade 0.6 einander ähnlich:

• ähn(A, B) = 1 − 0.4 = 0.6.
  

Aus den obigen Definitionen folgt ein elegantes Theorem, das die Ähnlichkeit zwischen zwei Fuzzymengen aus ihrem Durchschnitt und ihrer Vereinigung errechnet. Dafür brauchen wir den folgenden Begriff: Durchschnitt^? der Fuzzymengen A und B, symbolisiert durch A ∩ B. Dieser ist wie folgt definiert:

Definition 5. Der Durchschnitt A ∩ B von zwei Fuzzymengen A und B ist eine Fuzzymenge C = A ∩ B mit der folgenden μ_A∩B-Funktion:

• μ_A∩B(x) = min(μ_A(x), μ_B(x)).
  

Das heißt: A ∩ B = {(x, μ_A∩B(x))| μ_A∩B(x) = min(μ_A(x), μ_B(x))}. Dabei bedeutet ein Ausdruck der Form min(a, b)^? "die Kleinere der beiden Zahlen a und b" wie zum Beispiel min(5, 3) = 3. Wir haben beispielsweise bei:

• A = {(x, 1), (y, 0.3), (z, 0.1)}
  
• B = {(x, 0.8), (y, 0.6), (z, 0.4)}
  
• A ∩ B = {(x, 0.8), (y, 0.3), (z, 0.1)}.
  

Nun folgt das Ähnlichkeitstheorem (siehe Kosko 1992; Sadegh-Zadeh 2000), das besagt, dass der Grad der Ähnlichkeit zwischen zwei Fuzzymengen der Quotient aus der Größe ihres Durchschnitts und der Größe ihrer Vereinigung ist:

Theorem 2. ähn(A, B) = gr(A ∩ B) / gr(A ∪ B).

Nach diesem Theorem errechnen wir für unsere obigen Beispielmengen A und B ihre Ähnlichkeit auf eine einfache Weise wie folgt:

• A = {(x, 1), (y, 0.3), (z, 0.1)}
  
• B = {(x, 0.8), (y, 0.6), (z, 0.4)}
  
• ähn(A, B) = (0.8 + 0.3 + 0.1) / (1 + 0.6 + 0.4)
  
• = 1.2 / 2
  
• = 0.6.
  

Literaturverzeichnis

[1] Kosko B. Neural Networks and Fuzzy Systems. A Dynamical Systems Approach to Machine Intelligence. Engelwood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992.

[2] Lin CT. Adaptive subsethood for radial basis fuzzy systems. In: Kosko B, Fuzzy Engineering. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1997, ch 13, pp. 429-464.

[3] Sadegh-Zadeh K. Fuzzy genomes. Artificial Intelligence in Medicine 2000; 18: 1-28.

[4] Tversky A. Features of similarity. Psychological Review 1977; 84: 327-352.

[5] Zadeh LA. Towards a theory of fuzzy systems. In: Kalman RE, and DeClairis RN (eds.), Aspects of Networks and Systems Theory. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1971, pp. 469-490.

Letzte Änderung: 27.10.2007 08:59 (CID: 180) by Kazem Sadegh-Zadeh -